偏导数怎么看连续

判断偏导数是否连续的方法如下：

使用定义求偏导数值

首先，使用偏导数的定义求出函数在特定点$（x_0, y_0）$处的偏导数值$c$。即：

$$

c = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f（x_0 + \Delta x, y_0） - f（x_0, y_0）}{\Delta x}

$$

$$

c = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f（x_0, y_0 + \Delta y） - f（x_0, y_0）}{\Delta y}

$$

求不在该点时的偏导数

使用偏导数的求导公式求出函数在点$（x_0, y_0）$附近但不等于$（x_0, y_0）$处的偏导数$f_x（x, y）$和$f_y（x, y）$。

求极限判断连续性

最后，求偏导数$f_x（x, y）$和$f_y（x, y）$在$（x, y）$趋于$（x_0, y_0）$时的极限，即：

$$

\lim_{（x, y） \to （x_0, y_0）} f_x（x, y）

$$

$$

\lim_{（x, y） \to （x_0, y_0）} f_y（x, y）

$$

如果这两个极限都存在且等于$c$，则偏导数在该点是连续的；否则，偏导数在该点不连续。

例子

假设有函数$f（x, y） = \begin{cases}

\frac{xy}{x^2 + y^2}, & \text{if } （x, y）

eq （0, 0） \\

0, & \text{if } （x, y） = （0, 0）

\end{cases}$

求偏导数值

在点$（0, 0）$处，

$$

f_x（0, 0） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f（\Delta x, 0） - f（0, 0）}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0

$$

$$

f_y（0, 0） = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f（0, \Delta y） - f（0, 0）}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{0}{\Delta y} = 0

$$

求不在该点时的偏导数

对于$（x, y） \neq （0, 0）$，

$$

f_x（x, y） = \frac{y（x^2 + y^2） - xy \cdot 2x}{（x^2 + y^2）^2} = \frac{y^3}{（x^2 + y^2）^2}

$$

$$

f_y（x, y） = \frac{x（x^2 + y^2） - xy \cdot 2y}{（x^2 + y^2）^2} = \frac{x^3}{（x^2 + y^2）^2}

$$

求极限判断连续性

$$

\lim_{（x, y） \to （0, 0）} f_x（x, y） = \lim_{（x, y） \to （0, 0）} \frac{y^3}{（x^2 + y^2）^2} = 0

$$

$$

\lim_{（x, y） \to （0, 0）} f_y（x, y） = \lim_{（x, y） \to （0, 0）} \frac{x^3}{（x^2 + y^2）^2} = 0

$$

由于两个极限都存在且等于0，所以偏导数$f_x（x, y）$和$f_y（x, y）$在点$（0, 0）$处是连续的。

结论

通过上述步骤，可以判断一个多元函数在某一点处的偏导数是否连续。如果偏导数在该